quarta-feira, 17 de novembro de 2010

O Número de Ouro e a Sequência de Fibonacci na Natureza




Veja este vídeozinho proposto aqui! Depois disto, vamos realizar a seguinte atividade:  Um casal de coelhos recém-nascidos foi posto num lugar cercado. Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ão após um ano, supondo que, a cada mês, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal começa a procriar dois meses após o seu nascimento.


Aqui no Centro de Ciências acabamos de inaugurar a mostra sobre a Sequência de Fibonacci e a razão Áurea e o visitante é convidado a montar a espiral de ouro, que gera o formato do Nautilus, que vive no mar, além de resolvermos o problema dos coelhos, proposto no vídeo. Achou interessante? Veja as imagens:








E sobre o problema da genealogia abelhuda, temos a imagem que segue:


E aqui temos as fotos de uma pinha, que possui a sequência de Fibonacci em suas espirais 



domingo, 14 de novembro de 2010

Vamos aprender a tabuada? - Calculadora Parabólica

Olá pessoal!

Vamos aprender hoje a multiplicar com a parábola? Com o gráfico da equação do 2º grau obtido, através da função x², podemos calcular todas as tabuadas do número 1 ao 9. Você sabiam disto? Mais tarde postarei a foto da calculadora que temos aqui no Centro de Ciências. Vejam estas primeiras fotos:

Utilizando dois alfinetes e dois pesos, poderemos obter o número pelo qual eles estão sendo multiplicados. Veja só:

 
No exemplo acima que 5 X 4  = 20, obtido no eixo y. Os dois pequenos retângulos negros são pesos que fazem a linha ficar esticada. Sempre que  realizarmos esta experiência, obteremos o produto (lido no eixo dos y’s – no caso 20) de dois números dados no eixo dos x’s, onde a linha encontra o eixo dos x (no caso 5 e 4). Vejamos o motivo de tal fato.

Para entender o funcionamento da calculadora parabólica, tomemos dois pontos p e q sobre o eixo  horizontal (veja a próxima  figura). Queremos obter o produto de p por q. Sobre  o gráfico da parábola y = x² , marcamos os pares ordenados A e B. Unindo os pontos A e B com uma reta, obteremos o ponto R sobre o eixo y, cujo valor da ordenada é precisamente p.q. Observe na figura os triângulos ARS e ABC. Eles têm os mesmos ângulos e portanto são semelhantes. Logo,

Assim  RT = RS + ST = q.(p-q) + q² = p.q. Isto mostra que o nosso procedimento sempre produz o produto de dois números reais dados.

Olha a calculadora que temos aqui no Centro de Ciências pessoal. É simples de fazer e bem fácil de usar, vocês não acham?







E para o que mais serve a parábola? Ela é única? Só temos a função x² para isto? A parábola é o gráfico de uma equação que tem a cara de f(x) = ax² + bx + c e pode determinar e ajudar em várias outras atividades do ser humano. Não calculamos pura e simplesmente Bháskara pelo prazer de fazer tantos cálculos, não é mesmo?

A parabóla rotacionada, em torno do seu foco, com o eixo no vértice passando pelo mesmo foco, constrói-se um parabolóide, que serve para um montão de coisas. Veja só: antena parabólica, usina coletora de calor com os parabolóides em ação, faróis de carro e lanternas. Isso acontece porque qualquer coisa que sai do foco do parabolóide e da parábola bate nesta curva e segue em linha reta para frente, e tudo que chega em linha reta na parábola ou parabolóide bate na superfície e vai para o foco. Veja as imagens:


Sobre esta usina de coletores solares parabólicos, há mais informações no site:



Como construir um fogão parabólico? Veja este trabalho feito por alunos da Unicamp, que ensina como fazer formatos parabólicos em material de baixo custo.


Outra alternativa é este aqui que encontrei, para fabricação de fogões solares parabólicos (é um site em português de Portugal).




Além disto, veja mais este "livrinho" do ano de 1839, que trata nas folhas de número 167 a 169, de algumas experiências com formatos parabólicos, falando sobre espelhos côncavos e convexos. Ele também está disponível em:









Você não imaginava que tínhamos tudo isto com apenas uma curvinha à toa, não é mesmo? Se surpreendeu?

Disponível em:

Matemática e Escher

A biografia do artista:


O trabalho deste artista holandês, em boa parte, está ligado intimamente à matemática. Ele dizia as seguintes palavras:
"Eu freqüentemente sinto ter mais em comum com
matemáticos do que com meus colegas artistas", ou "Minha afinidade
sobre os fenômenos naturais é
provavelmente decorrente do meio no
qual eu cresci: meu pai e três de meus
irmãos tiveram treinamento em
ciências exatas ou engenharia, e eu
sempre tive o enorme respeito por
essas coisas".

Como Escher poderia ter "descoberto" figuras que se encaixassem tão perfeitamente como as que encontramos em seus Mosaicos? Ele dá movimento, nos seus trabalhos, a peixes, pássaros, répteis e figuras humanas que os compõem. No Centro de Ciências aqui da cidade de São José do Rio Preto, passamos aos nossos visitantes quais as visões matemáticas que podemos ter a respeito dos quadros deste artista tão fantástico. Segue algumas fotos da mostra que temos aqui e alguns links que sugerem boas interações com suas obras:


Temos na imagem que segue, o ponto fundamental desta obra de Escher, entitulada "Répteis", que trata de geometria, rotação e mais profundamente de área do hexágono. A partir de um único hexágono, Escher consegue tirar pequenas partes deste, que comporão os seus próprios membros, como a cabeça, as patas e o rabo. Veja:

Obra "Répteis" original


Explorando a isometria, Escher pode mexer com a rotação, a translação, a reflexcão e a translação com reflexão para mostrar diversos aspectos geométricos. Nesta obra que aqui mostro, este artista inacreditável, a partir de uma base em forma de hexágono, nos mostra um réptil fabricado a partir dela. 

No site http://www.uff.br/cdme/jogos_artisticos_geometricos_eletronico/index.html, temos diversas atividades que dizem respeito a esta obra, com todas as suas particularidades. Aproveite e entre já!

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